哥伦比亚大学线性代数课程辅导

线性代数，处理向量和矩阵的数学学科，更广泛地说，处理向量空间和线性变换的数学学科。与数学的其他部分经常被新思想和未解决的问题所振奋不同，线性代数是非常好理解的。它的价值在于它的许多应用，从数学物理学到现代代数和编码理论。

本科课程辅导

一、向量和向量空间

线性代数通常从研究矢量开始，矢量被理解为既有大小又有方向的量。矢量很容易被用于物理应用。例如，考虑一个可以在任何方向自由移动的固体物体。当两个力同时作用在这个物体上时，它们产生的综合效应与一个力是一样的。为了说明这一点，将两个力v和w表示为箭头;每个箭头的方向表示力的方向，其长度表示力的大小。

二、线性变换和矩阵

矢量空间是线性代数的两个主要成分之一，另一个是线性变换(或物理学家口中的 "算子")。线性变换是将一个矢量发送到或 "映射 "到另一个矢量的函数。最简单的线性变换的例子是将每个向量发送到c乘以自身，其中c是某个常数。因此，每个向量都保持相同的方向，但所有长度都乘以c。另一个例子是旋转，它使所有长度保持不变，但改变了向量的方向。线性指的是变换保留了矢量加法和标量乘法的事实。这意味着，如果T是一个将向量v发送到T(v)的线性变换，那么对于任何向量v和w，以及任何标量c，该变换必须满足T(v+w)=T(v)+T(w)和T(cv)=cT(v)的特性。

三、特征向量

在研究线性变换时，找到方向不被变换影响的非零向量是非常有用的。这些被称为特征向量(也被称为特性向量)。如果v是线性变换T的一个特征向量，那么T(v)=λv，对于某个标量λ，这个标量被称为特征值。最大绝对值的特征值，连同其相关的特征向量，对许多物理应用具有特殊意义。这是因为，无论线性变换所代表的是什么过程，往往都是重复作用--将上一个变换的输出反馈到另一个变换中--这导致每个任意(非零)矢量都收敛在与最大特征值相关的特征向量上，尽管是按特征值的幂数重新调整。换句话说，系统的长期行为是由其特征向量决定的。

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